三角形ABC,D是BC边的中点,ＤE、ＤF分别是角ＡＤＢ与角ＡＤＣ的角平分线交ＡＢ、ＡＣ于Ｅ、Ｆ，求ＢＥ＋ＣＦ大于ＥＦ。

如上图：（设AD和EF相交于O点）（图中未标出，疏忽了）
由于ＤE、ＤF分别是角ＡＤＢ与角ＡＤＣ的角平分线
角BDE=角ADE 角ADF=角CDF
角BDE+角ADE+角ADF+角CDF=180度
所以角EDF=角ADE+角ADF=90度

同时由角平分线定理可知
AD/CD=AF/FC（此定理不知者请看回复4）
AD/BD=AE/EC（此定理不知者请看回复4）
由于D为BC中点,故BD=CD
所以AF/FC=AE/EC
可得：EF//BC
所以分别对三角形ABD和三角形ACD来看
有EO/BD=AO/AD
FO/CD=AO/AD
所以由此知：EO=FO

联系得出结果：EO=FO,角EDF=90度。
可知：OD=EO=FO

故现在只需证明BE+CF>2OD
又由平行线定理知： BE/AB=OD/AD,CF/AC=OD/AD
故只需证AB+AC>2AD即可了。

证AB+AC>2AD可自证的朋友们，可以不用往下看来
以下证AB+AC>2AD的
证明：做AD的延长线AH，连接BH,使AH=2AD,即AD=DH
由 AD=DH，BD=CD,角ADC=角HDB
得 BH=AC.
由三角形定理可知：AB+DH>AH
即：AB+AC>2AD.
由此此题证明完毕！！！


如有错误，欢迎反馈给本人。
本人QQ：501325062
同时谢谢回复3和4的建议！！！

有点小错误
EO/BD=AO/OD 应该改为 EO/BD=AO/AD
FO/CD=AO/OD 应该改为 FO/CD=AO/AD

在回复2中
由EF∥BC不能得出EO/BD=AO/OD和FO/CD=AO/OD,而应该得出EO/BD=AO/AD和FO/CD=AO/AD

确实呀！！！
谢谢哈！！！
我把文章改改了！！！

AD/CD=AF/FC怎么来的

在AD上找到一个点使DO=BD,连接OE,OF.
那么可以得到:
三角形BDE全等三角形ODE
三角形CDF全等三角形ODF
那么
BE=EO,CF=FO
BE+CF=EO+FO>EF

此题思路：先延长FD并使延长线段DG长等于FD,连接BG,EG,根据已知条件可证明三角形FDC和三角形GDB全等，那么BG=CF,由DE和DF分别是角ADB和角ADC的角平分线，可证得DE垂直于DF，由因在三角形EGF中，DE既是边GF的中线也是其边上的高，所以三角形EGF是等腰三角得到EG=EF，故BE+BG大于EG,BE+CF大于EF。(图为下个回复内容）